How to Count Efficiently all Affine Roots of a Polynomial System

Polynomials are ubiquitous in a variety of applications. A relatively recent theory exploits their sparse structure by associating a point connguration to each polynomial system; however, it has so far mostly dealt with roots having nonzero coordinates. We shift attention to arbitrary aane roots, and improve upon the existing algorithms for counting them and computing them numerically. The one existing approach is too expensive in practice because of the usage of recursive liftings of the given point connguration. Instead, we deene a single lifting which yields the desired count and deenes a homotopy continuation for computing all solutions. We enhance the numerical stability of the homotopy by establishing lower bounds on the lifting values and prove that they can be derived dynamically to obtain the lowest possible values. Our construction may be regarded as a generalization of the dynamic lifting algorithm for the computation of mixed cells. Une construction eecace pour compter les racines aanes d'un systtme polynnmial RRsumm : Des polynnmes apparaissent dans plusieurs applications diverses. Une thhorie relativement rrcente considdre leur structure creuse en associant une conn-guration de points chaque systtme polynnmial. Or, elle a jusqu'ici surtout tudii les racines coordonnnes diiirentes de zzro. Nous mettons l'accent sur les racines aanes arbitraires, et nous proposons des algorithmes eecaces pour les compter et les approcher nummriquement. La seule approche qui existe aujourd'hui est trop cooteuse en pratique cause de l'application d'un rellvement rrcursif de la conngu-ration de points donnne. Nous dddnissons par contre un seul rellvement qui permet l''numeration des racines et dddnie une homotopie pour les calculer toutes. Pour ammliorer la stabilitt nummrique de l'homotopie, nous ddrivons des bornes inffrieures sur les valeurs du rellvement et nous ddmontrons qu'elles peuvent tre calculles dy-namiquement aan d'atteindre leur valeurs minimales. Notre construction ggnnralise le rellvement dynamique pour calculer toutes les cellules mixtes.